Возможно ли получить гражданство в другой стране с новой фамилией, отличающейся от фамилии в русских паспортах, или же придется менять ее и в России?

Я точно не уверен, но я себе представляю этот процесс​ так:

1. Вы меняете фамилию в России и получаете гражданство другой страны по новой фамилии, которая была сделана в России

2. Вы получаете гражданство с старой фамилией и меняете её уже в новой стране.

В некоторых странах при смене фамилии обяжут привести серьёзные аргументы для подобного действа. И нет никаких гарантий, что с вашими аргументами согласятся. Так что меняйте Ф.И.О. в России заранее.