Как всё-таки правильно говорить: католичество или католицизм? Как говорят сами католики?

Говорят по-разному. Какой вариант филологами признан правильным, я не знаю. Но «католицизм» – эдакий советский неологизм, к которому народ долго приучали с целью привить отождествление религии и политики. Вспомните названия идеологий или строев: либерализм, консерватизм, коммунизм, нацизм, фашизм, капитализм. Эти и прочие «измы» не имеют ничего общего с католичеством, самой крупной из христианских конфессий и религий мира вообще. Так что мой вариант - католичество.