Начать видимо стоит с того, зачем компаниям нужны акции. Представьте, что вы захотели открыть небольшой магазин. Вам нужен стартовый капитал, чтобы снять помещение, нанять продавцов, закупить товар, заказать логотип и так далее. Если хватает собственных средств, то все хорошо, но обычно приходится искать деньги на стороне. Чтобы посторонние люди дали вам денег, им надо что-то пообещать. Для этого была придумана акция, то есть бумажка владельцу которой полагается определенный процент компании. Изначально акция гарантирует процент от доходов компании. И хотя в реальности все устроено несколько сложнее, в долгосрочном периоде это примерно так и есть.
Допустим вы выпустили сто тысяч акций. Продали часть вашим друзьям и родителям. Бизнес пошел. Через некоторое время вам нужен капитал для открытия второго магазина. У знакомых денег больше нет, так что надо идти к чужим людям. Для этого и придуманы биржи. Это организованный рынок акций (и других финансовых инструментов сегодня). На бирже действуют строгие правила, что с одной стороны стесняет компании, но с другой очень сильно увеличивает ликвидность, потому что появляется намного больше продавцов и покупателей.
Акции можно продать любому участнику биржи, а значит вкладывать в компанию менее рискованно. Без биржи, вы почти никогда не можете знать точную цену своих вкладов и почти никогда нельзя обменять акции на деньги без больших проблем. На бирже это намного проще.
То есть биржи нужны чтобы компаниям было легче находить капитал, а инвесторам было легче находить, куда вложить деньги и меньше рисковать при вкладе. Конечно со временем у бирж появилось много других функций. Сегодня биржа во многом является источником информации о том, как идут дела в компании и в экономике в целом (если посмотреть на биржу в целом).
Ссылка по теме (там намного детальней): habrahabr.ru