Да, у животных бывают психические расстройства.
Для формального ответа достаточно упомянуть, что человек - тоже животное. Родство с другими животными важно и при более развернутом ответе о "нечеловеческих" животных. Механизм действия и биохимия нейронов схожи у всех видов, имеющих нервную систему. Соответственно, возможны и похожие нарушения на этом базовом уровне. Конечно, нельзя говорить о психическом расстройстве у примитивного моллюска, чьи нейроны можно пересчитать на пальцах (нет психики в нашем понимании). Но у животных с достаточно сложным мозгом можно ожидать сходные с человеческими расстройства психики из-за более-менее сходных причин: внешних (например, длительный стресс) или внутренних (нарушение собственной биохимии мозга).
Рассказать о себе животное, как правило, не может. О психическом расстройстве приходится судить по особенностям поведения и на основе результатов обследования (если проводилось), например биохимических анализов. Тем не менее, есть все основания полагать, что у высокоорганизованных животных бывают неврозы (например, из-за стресса), депрессии (например, из-за смерти сородича или хозяина-человека, или из-за длительного пребывания в тесной клетке) и врожденные расстройства аутического спектра (проблемы с инстинктивным пониманием действий и намерений себе подобных). Ряд других "человеческих" расстройств (например, шизофрения, паранойя) можно лишь предполагать, так как с животным не поговоришь, да и психика у них все же не человеческая (поэтому понятия "норма" и "расстройство" тоже должны быть свои).
Описание случаев психических расстройств и депрессии у животных на spacefacts
Что касается буквального понимания слова "страдание", то у человека одни психические расстройства причиняют страдания сами по себе (безотносительно к внешним обстоятельствам), другие в этом отношении нейтральны, третьи сами по себе улучшают настроение. Объективно же все расстройства снижают приспособленность к среде и адекватность реакций, что тоже может стать источником страданий (а может и не стать). У животных, вероятно, ситуация похожа. Многие страдают, другим все равно, а какие-то могут даже наслаждаться своим расстройством.
Собаки, к примеру, могут страдать депрессией, как и др. виды животных.
А если посмотреть со стороны биологии, то мы животное и следовательно мы страдаем псих. заболеваниями.