По-моему, как раз раздельно стоит писать. В примерах из предыдущего ответа вариант из вопроса вообще не разбирается. По моей логике, проверять можно, подставив опущенное ранее дополнение, от которого, собственно, зависит подчинённая часть. То есть "Она выиграла пять матчей подряд при том *обстоятельстве*, что на этом промежутке встречалась со всеми конкурентами".
На самом деле здесь "при том" -- действительно дополнение. "Выиграла" при чём? "при том".
На самом деле руководствуюсь только интуицией какой-то, надеюсь, нас рассудят.
Удачи.
П.С. Вот тут поднимается та же тема и приводят аргументы из Розенталя в пользу моего мнения.