Сергей Янков
март 2017.
3405

Существует ли какое-то доказательство того, почему работает закон умножения а*б=б*а (где а и б - действительные числа), или это принимается как аксиома?

Ответить
Ответить
Комментировать
1
Подписаться
0
4 ответа
Поделиться

Да, смотрите доказательство коммутативности для операции умножения натуральных чисел. 

Доказательство ведётся через индукцию. Начиная с 126 стр. (или разбор ниже).

4
-1
Прокомментировать

Все разделы математики строются следующим образом: имеются аксиомы, а уже от них путем логических рассуждений выводятся теоремы, леммы и так далее. 
Конечно, все аксиомы сначала как-то брались из наблюдаемых явления (типа, если 2 яблока прибавить к трём, это будет то же самое, что 3 к двум), но аксиома - это по определению утверждение, которое не требует доказательства. Почему? А потому, что иначе нельзя определить операцию умножения. Представьте, что вы понятия не имеете, что такое умножение в числовом поле, чтобы вам это объяснить вам  нужны все свойства этой опреации. А теперь вопрос: как вы будете доказывать свойства того, о чем вообще не знаете. Потом уже из этого доказывается, что это работает при вычислении площади прямоугольника, например и т.д.. Но изначально мы должны просто придумать операцию, дать ей свойства, а затем искать нужна ли она где-то, а где нет, поэтому это одна из аксиом, например, поля.
Итог:
Да, это можно доказать, но это будет порочный круг, ибо когда вы доказываете это свойство операции, то уже имеете в голове операцию, которую в свою очередь нужно определять как-то (именно аксиомы для этого созданы). Поэтому, любое доказательство, типа "посчитаем площадь  прямоугольника" будет эквивалентно высказыванию о том, что для этого можно использовать умножение, а фраза об использовании умножения отсылкой к свойствам этой операции, которые заданы аксиомами, поэтому использовать заданные свойства - аксиомы, для доказательства этих же свойств - странно, хотя, интуитивно кажется нормальным, но это лишь связанно с тем, что вы понимаете, что такое умножение, а это не особо строго и научно.

Артём Егоровотвечает на ваши вопросы в своейПрямой линии
1
0
Прокомментировать

Даже не обязательно целые ))

Наверное аксиома... но первое доказательство, которое приходит на ум:

Допустим, а - длина, б - ширина прямоугольника, а*б - его площадь.

Если этот же прямоугольник развернуть на 90 градусов, то длиной станет - б, а шириной - а, но площадь от этого не изменится.

2
-1

Да, я неправильно написал. Наверное, нужно было написать, что речь идет о действительных числах.

0
Ответить

Это, скорее, доказательство частного случая

0
Ответить
Прокомментировать

Аксиома, насколько помню, в алгебре одна - "Прибавив к натуральному числу единицу, получаем следующее натуральное число". Откуда, через определение умножения, можно вывести помянутый тезис.

0
0
Прокомментировать
Ответить
Читайте также на Яндекс.Кью
Читайте также на Яндекс.Кью