Дело в стремлении московских государей к преемственности с Византией.
В 1441 году вернувшийся с Флорентийского собора митрополит Исидор на службе в Успенском соборе помянул папу Римского, и с амвона зачитал текст принятой во Флоренции унии об объединении восточной и западной церквей. В Москве это вызвало вполне однозначную реакцию - Исидора заключили в монастырь (впрочем, скоро отпустив обратно к латинянам), а РПЦ объявила автокефалию - независимость от Константинопольского патриархата. Спустя недолгое время Восточная Римская империя прекратила свое существование под ударами турок (1453), и в России задумались об идее Третьего Рима - мол, первый давно уже не империя, и веру Христову искажает своим филиокве, второй (Константинополь) продался католикам и поэтому пал, а Третий - Москва - веру хранит, а потому стоять будет вечно. Риму нужны были признаки Рима - Иван III заимстовал византийский герб. И Новый год - как раз греки отмечали его 1 сентября.
Важное дополнение: византийцы не называли себя подобным образом. Своё государство греки именовали Романией, а себя - ромеями, т.е. римлянами. Московское княжество не осталось в стороне, и начало именовать себя Русью по-гречески, т.е. Россией. А еще Иван III был женат на родственнице последнего греческого императора Софии Палеолог.
Некоторые подробности с музыкальным сопровождением здесь: vk.com
