Можно ли с помощью генной инженерии, получить "неестественные" цвета глаз и волос у людей?

На людях такое пока не испытывали, но, в целом, да, можно.

В 2008 году Нобелевскую премию дали за Green Fluorescent Polymer, ну и с тех пор было много разных генетических, экспериментов, например, рыбки GloFish, или там свиньи со светящимися пятачками. В России этим тоже занимаются, например, Илья Ямпольский из ИБХ РАН.

Да можно, но не при нынешнем уровне развития науки.

ДНК это невероятно сложная и длинная цепочка, которая закодирован довольно сложным для нашего понимания "языком". Сейчас ученые способны в основном переставлять понятные им гены другим организмами, но даже это получается далеко не всегда.