Славик Кривороль
февраль 2017.
991

Почему принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона) верен? Можно ли его как-то вывести? А если нельзя, как до него догадались?

Ответить
Ответить
Комментировать
1
Подписаться
4
1 ответ
Поделиться

Надо понимать, что принцип наименьшего действия - это просто очень удобная математическая модель описания того, почему система ведёт себя так, а не иначе. Другими словами, чем одна траектория (в wikiwand.com фазовом пространстве) системы лучше другой?

Это по большей части философский вопрос, и его надо было как-то сформулировать на математическом языке. Тогда в XVII веке как раз научились решать вариационные задачи, т.е. поиск максимума/минимума функционала (т.е. функции от функции). Тогда специально придумали кое-какой функционал, которую назвали действием, минимум которого как-раз соответствовал действительной реализации системы.

Исторически первым такой принцип был придуман для правила распространения света и "действием", минимум которого реализовывался, являлось просто время в пути от одной точки до другой (как известно, свет выбирает траекторию кратчайшего по времени пути).

По аналогии со светом этот принцип потом стали применять во всех системах, причём не только в классической, но и в квантовой механике*.

Так что, строго говоря, этот принцип выводить не нужно, это просто удобный способ математической формулировки механики и теории поля. Конечно, можно спекулировать, что под этим есть некоторый фундаментальный закон нашей Вселенной, бла-бла-бла, но это из серии философии и к науке отношения (пока что) не имеет.

  • Формулировку квантовой механики на языке интегралов по траекториям (минимизации действия) разработал Файнман в 1942 в Принстоне в качестве своей cern.ch PhD диссертации.
6
0

"Действие" с размерностью эрг.сек - математическая модель? Постоянная Планка как квант действия тоже математика?

0
Ответить

Причём тут размерность? Размерность зависит от того, что вы берёте в качестве действия. В физике это интеграл лагранжиана по времени, что в размерности даёт как раз энергия ⨉ время. 

Конечно, это математическая модель. Если у вас есть физическая система, никакого действия вы у неё посчитать руками не сможете. Вы можете посчитать координаты фазового пространства, например. Из них потом составить правильный лагранжиан и из него потом составить действие. Потом проварьировать действие и получить правильные траектории a.k.a. уравнения движения и, о чудо, они совпадают с экспериментальными данными для координат(!) фазового пространства. 

Ещё раз, действие - это математическая концепция, некоторый функционал, который, оказывается, применим в механике и теории поля.

+1
Ответить

Действие является мерой движения физической системы. Вы его описываете как математическую модель только потому, что слово "действие", не являясь измеряемой величиной, не несет физического смысла. А энергия? Прямо энергия не измеряема? Для определения энергии мы тоже применяем математику.

Согласно Фейнману, "принцип наименьшего действия является математически более specific чем 2-ой закон Ньютона и более фундаментальным в теор. физике, потому что объясняет более широкую область законов физики. Можно вывести  второй закон Ньютона из принципа наименьшего действия, но обратное невозможно, без применения 1-го и 3-го законов и исключения неконсервативных сил (трение). Из принципа наименьшего действия и симметрии пространства и времени следуют законы сохранения энергии и импульса".

0
Ответить
Ещё 2 комментария

Лагранжиан определен с точностью до полной производной, это значит, что к действию, вообще говоря, можно прибавить произвольную функцию координат и времени (в начальной и конечной точке, действие же число), вариационную задачу это не изменит. Какая-то странная получится мера движения, которую вообще можно задать почти любой (и аналогия с энергией тут не пройдет, разность энергий всегда одна и та же величина).

Но можно пофилософствовать на тему того, что путевой интеграл есть сумма фаз по всем траекториям. По сути дела, как показал Гамильтон, если рассматривать действие как функцию от координат конца траектории на физически верных экстремальных траекториях, то это натурально будет эйконал как в геометрической оптике. Ну а Фейнман показал, что классические траектории вносят основной вклад в амплитуды перехода, потому что его мера интегрирования exp(iS) основной вклад набирает именно в окрестности стационарной точки. 

Можно сказать, что принцип наименьшего действия спускается к нам из квантовой механики, но придумали его в рамках классической парадигмы. Таких вещей, на самом деле, не мало. Вот по сути элементарные частицы - очень квантовый феномен, в классике поля - это просто какие-то функции, а в квантах возбуждение поля есть какие-то состояния. И как уровни энергии в атоме являются дискретными, так и возбуждения поля дискретны. Вот такие дискретные возбуждения по нашему и есть частицы. А вон идея атомизма от греков еще идет. Но это все немного спекуляции. Фейнман правильно говорил, надо заткнуться и считать, а не пытаться искать новые философские трактовки, новой физики в этом нет.

+2
Ответить

Больше не спорю. Убедили. Thanks!

0
Ответить
Прокомментировать
Ответить
Читайте также на Яндекс.Кью
Читайте также на Яндекс.Кью