Во всех толковых словарях слово "отправлять" имеет также значение "выполнять", "осуществлять". В словаре Даля есть примеры: "Он плохо отправляет службу свою", "Они отправляют торговлю с Кавказом", "Наша семья отправила рекрутство, сдала от себя новобранца". В словаре Ожегова: "отправлять обязанности секретаря". В словаре Ушакова: "Это ведет к понижению умственных отправлений, к понижению памяти". В романе Достоевского "Братья Карамазовы": "Когда же римское языческое государство возжелало стать христианским, то непременно случилось так, что, став христианским, оно лишь включило в себя церковь, но само продолжало оставаться государством языческим по-прежнему, в чрезвычайно многих своих отправлениях".
Почему это значение слова сохранилось почти исключительно в контексте правосудия - уже другой вопрос.