Максимально быстро не надо, надо надёжно, иначе будете кусать локти.
Прикиньте, что вам нужно в общих чертах (район, удаленность транспорта, число комнат, качество ремонта, возраст дома) и смотрите среднюю цену за этот вариант (в базах обычно пишут: средняя цена за N комнат в этом доме).
Ищите варианты по средней цене или чуть ниже. Варианты по цене беспричинно гораздо ниже средней - отсекайте, это наверняка развод. Ну или там есть серьёзнейшие недостатки, которые резко обрушили цену, оно вам надо?
Где искать. Основная база это ЦИАН, там наибольшее число вариантов, но 100% обьявлений от риэлторов (значит 10.000 сверху). Остальные базы тоже пестрят обьявами от риэлторов на 99% и менее полны. Есть специальные базы без риэлторов, но они в свою очередь берут деньги за контакты или за месяц пользования и т.д.. Есть агрегаторы, например, Яндекс.Недвижимость.
По понравившимся вариантам можно выезжать на просмотр. Желательно, чтобы на нем присутствовал собственник с паспортом и документом, удостоверяющим его право собственности на квартиру. Если все понравилось, договоритесь о дате оформления договора, а сами заказывайте выписку ЕГРП, срок получения выписки от несколько часов до суток. Главное, что должно быть в выписке ЕГРП: убедитесь, что человек, который собирается сдавать вам квартиру по выписке ЕГРП и есть единственный собственник квартиры (если собственников несколько, все они должны быть на процедуре оформления договора).
Приезжаете на оформление договора. Можете скачать в интернете типовой договор и предложить его. В договоре желательно описать мебель в квартире и какие есть недостатки и т.д.
При оформление договора обычно единоразово уплачивают две месячных цены + риэлтору (30%-50% цены в месяц). Первая цена за месяц - это аренда за месяц вперед. Вторая месячная цена это залог за надлежащее содержание квартиры, его возвращают при выезде (если ). Отдельно в договоре надо указать, кто оплачивает коммунальные расходы. Тут как договоритесь (если в обьявлении не было указано). Но обычно жилец платит за воду и свет, а остальное арендодатель.
Риэлтор за свои 30%-50% никакой ответственности не несет, он просто свел вас с арендодателем. Конечно, можно и без него вообще обойтись, но объявления от собственников найти куда сложнее, риэлторы тотально заспамливают все площадки.
Начиная с даты, указанной в договоре, можно переезжать и жить. В формате списка как-то всё это сложно, но реально ничего страшного.