А какой ответ ожидается? По определению -- множество не измеримо если не совпадают его нижняя и верхняя мера. Сомневаюсь, что можно сделать описание более точным.
Наиболее известный пример не измеримого -- множество рациональных чисел на [0, 1]. В качестве более интересного примера можно привести канторово множество: рассмотрим отрезок [0, 1]. Разделим его на три части. После центральную часть вырежем, а с крайними рекурсивно проделаем то же самое. Полученное множество будет не измеримым по Жордану и при этом не счётным.
UPD: Пример не точен. Описанное канторово множество, как раз, измеримо по Жордану. Корректнее будет на каждом шаге вырезать из всех оставшихся отрезков кусок длины a*2^(-k), где 0<a<1 и k-номер шага. Тогда оставшаяся часть будет иметь нижнюю меру 0 и верхнюю меру 1-a.