Что представляет из себя не измеримое по Жордану ограниченное множество? В голову приходит только множество, состоящее из отдельных точек.

Ответить
Ответить
Комментировать
0
Подписаться
0
1 ответ
Поделиться

А какой ответ ожидается? По определению -- множество не измеримо если не совпадают его нижняя и верхняя мера. Сомневаюсь, что можно сделать описание более точным. 

Наиболее известный пример не измеримого -- множество рациональных чисел на [0, 1]. В качестве более интересного примера можно привести канторово множество: рассмотрим отрезок [0, 1]. Разделим его на три части. После центральную часть вырежем, а с крайними рекурсивно проделаем то же самое. Полученное множество будет не измеримым по Жордану и при этом не счётным.

UPD: Пример не точен. Описанное канторово множество, как раз, измеримо по Жордану. Корректнее будет на каждом шаге вырезать из всех оставшихся отрезков кусок длины a*2^(-k), где 0<a<1 и k-номер шага. Тогда оставшаяся часть будет иметь нижнюю меру 0 и верхнюю меру 1-a.

Александр Кульковотвечает на ваши вопросы в своейПрямой линии
2
0

По определению -- множество не измеримо если не совпадают его нижняя и верхняя мера

Это определение просто неизмеримости. Неизмеримым же по Жордану множество будет тогда и только тогда, когда оно ограничено, и верхняя мера его границы равна нулю.

В качестве более интересного примера можно привести канторово множество

Вы рассматриваете неправильный пример, так как обычное канторово множество измеримо по Жордану.
Верным здесь примером будет т.н. "жирное канторово множество".

+2
Ответить

_равна_? Но ведь это критерий как раз измеримости, разве нет? И даже если считать, что там "не равна", в чём отличие, кроме того, что я не указал ограниченность?

Да, про канторово множество вы правы. Не задумался о том, что его верхняя мера как раз равна нулю. Сейчас поправлю ответ.

0
Ответить

Да, спасибо за исправление, разумеется, измеримости. Ваш второй вопрос я не понял.

Кстати, еще в качестве типичного примера можно привести любое множество, неизмеримое по Лебегу (множество Витали, например).

0
Ответить
Прокомментировать
Ответить
Читайте также на Яндекс.Кью
Читайте также на Яндекс.Кью