Избежать вообще - сомнительно, а вот отсрочить - вполне. Действительно, умеренные республиканцы во главе с Линкольном (в отличие от радикальных, требовавшие немедленной отмены рабства - а были и такие) активно выступали против распространения рабства на новых территориях (при этом на тот момент не требовал немедленной отмены рабства в рабовладельческих штатах). Такая политика расценивалась южными демократами как угроза своей экономической системе - аграрной рабовладельческой экономике для развития позарез нужны новые территории. Еще до окончания выборов многие южные политики предупреждали, что южные штаты выйдут из Союза в случае победы Линкольна, т.к. тот представляет угрозу для их экономики, социальной структуры и образа жизни. В итоге так и произошло - вскоре после объявления результатов южные штаты один за другим объявили о выходе из Союза. При этом сецессионисты захватывали федеральное имущество, что было расценено федеральным правительством как агрессия, что в результате и привело к войне (см. например, Форт-Самтер)
В случае победы Брекенриджа понятно, что повода выходить из Союза у южных штатов не было бы. Соответственно, Гражданской войны в 1861 г. бы не произошло. При этом продолжались бы яростные дебаты в Конгрессе, Сенате, а также и среди широкой публики по поводу распространения рабства на новых территориях. Продолжались бы беспорядки, а также открытые вооруженные столкновения на новых территориях (по типу Кровоточащего Канзаса). Необходимо также учитывать и неприязненное, а кое-где и откровенно враждебное отношение к рабству в северных штатах (вспомним рейд Джона Брауна).
Очевидно, что ни к какому консенсусу стороны придти на тот момент не были способны. В более-менее близкой перспективе это привело бы к расколу, который с высокой вероятностью принял бы форму войны. Сложно сказать, когда и как бы это произошло - возможно, на следующих выборах, где наконец, был бы выбран республиканец, например, тот же Линкольн. Но одно было ясно - противоречия достигли такого уровня, что могли разрешиться лишь силой. Приняли бы они форму именно той Гражданской войны, которая случилось в реальности - неизвестно (в конце концов, то, что она приняла такой затяжной характер, объяснялось многими факторами - в том числе, и полуслучайными), но то, что конфликт в том или ином виде был неизбежен, сомнению не подлежит.