Никакого. :)
Приблизительно такое же, как россияне к Игорю Рюриковичу.
Монголам, наверное, приятно думать о себе как о потомках создателя величайшей империи. Хотя могу ошибаться, среди знакомых нет ни одного монгола.
Казахи считают Темучина своим. Буряты тоже. :)
Такое же какое современные россияне имеют к Александру Невскому. Чингисхан одна из самых значительных личностей в истории Монголии , многие монголы знатных родов являются его потомками, а еще большее число растворилось среди покоренных народов.