В первую очередь отнести к ветеринару. А там уже животное осмотрят и скажут, какие нужно сдать анализы (на скрытые вирусные инфекции). Если животное здорово, выдержать его в изоляции две недели, двукратно привить и вперёд на пристройство или в приют, на худой конец. Если животное больное, вылечить, разумеется, и так же двукратно вакцинировать. Некоторые приюты также требуют обязательной кастрации/стерилизации животного.
У кошек существует т.н. ВИК-инфекция (вирус иммунодефицита кошек), аналогичный человеческой ВИЧ-инфекции, а так же вирусный лейкоз крови. С такими заболеваниями можно жить и даже счастливо - но животное должно получать пожизненное лечение и быть единственной кошкой в семье (для человека и других видов животных эти заболевания не опасны). Не уверена, что приюты требуют анализы об этих инфекциях, но если вы берёте кошку из приюта, то на это сдать анализы стоит в первую очередь, т.к. данные инфекции никак не проявляют себя в начальных стадиях. Если начать поддерживающее лечение раньше, вероятность повышения продолжительности жизни животного больше.