Пишут, чтобы узнать, как дела. После разрыва романтических отношений вполне можно остаться друзьями, ну, или хотя бы поддерживать общение.
А второй половинке показывают самостоятельно, чтобы не было потом скандалов на тему "почему ты ему/ей пишешь?", "что ты ему/ей пишешь?" и тому подобное.