«Навострить», как несложно догадаться, народный вариант глагола «наострить», то есть сделать более острым, наточенным. У Лермонтова в «Песне про Купца Калашникова» царь Иван Грозный говорит: «Я топор велю наточить-навострить». Но это прямое значение глагола, а есть и переносное: сосредоточить на чем-либо внимание, напрячь. Например, навострить уши – внимательно прислушаться, навострить глаза – внимательно начать наблюдать. И в выражении «навострить лыжи» глагол «навострить» тоже употреблен в этом переносном значении. (Кстати, навострить можно не только лыжи. В просторечье есть устойчивое выражение «навострить лапки» – то есть удрать, убежать.)
Забавно, что лыжи может навострить даже тот, кто никогда на них не стоял: например, ерш из сказки Салтыкова-Щедрина «Карась-идеалист»: «Но тут ерш грубо прерывал своего друга. – С тобой, видно, гороху наевшись, говорить надо! –кричал он на карася и, навостривши лыжи, уплывал от него восвояси».
И, конечно, Гоголь в «Мертвых душах»: «Убежит, как дважды два, навострит так лыжи, что и следа не отыщешь». В английском языке это выражение будет звучать так: «show a clean pair of heels» (“сверкать пятками”) или просто «skip out».
Так же известно, что можно навострить не только лыжи, но и уши, ножи, топоры, мечи, глаза, сердце, слух…
Книжек начиталась, со студентами язык навострила, социалистку из себя кривляешь, ― берегись! [А. В. Амфитеатров. Марья Лусьева (1903)]
Но почему именно «лыжи»? Есть версия, что лыжи использовались для передвижения по глубокому снегу во время охоты, военных действий в зимних условиях и пр. Они были короткие (150 см в среднем) и широкие (15-20 см), удобные, скорее, для переступания, чем для скольжения. Иногда лыжи подбивались камусом (шкурой оленя), чтобы облегчить передвижение вверх по склону. «Навострить лыжи» значит «направить острия лыж в определенную сторону». То есть уйти.