Были ли в теологии попытки доказать, что Бог существует с логической необходимостью, возможно ли это в принципе?

Конечно, были. Как минимум, у нас есть: 

1. космологический аргумент (самый популярный) - "с чего-то всё должно было начаться";

2. онтологический аргумент (самый странный) - "быть - лучше, чем не быть";

3. телеологический аргумент - "всё устроено слишком сложно и целесообразно".

Все они имели цель показать, что бог существует именно с логической необходимостью. А уж насколько хорошо у них это получилось, - вопрос, который можно и нужно обсуждать.

Перед тем, как ответить, необходимо уточнить сам Ваш вопрос:

Логически с точки зрения теологии доказать существование кого?

О ком вы спрашиваете?

Какой Вы смысл вкладываете в термин "Бог"?