Катерина Булатова
ноябрь 2016.
16250

Объясните теорему Гёделя о неполноте простым языком для нематематика пожалуйста. Постулаты, практическое значение, влияние на философию?

Ответить
Ответить
Комментировать
0
Подписаться
4
2 ответа
Поделиться
АВТОР ВОПРОСА ОДОБРИЛ ЭТОТ ОТВЕТ

Не хотелось мне отвечать на этот вопрос, но судя по тому какую херню тут пишут - все же придется.

Во-первых Теорема Геделя - это Теорема о свойствах конкретной формальной системы - арифметике Пеано (один из способов аксиоматического описания натуральных чисел). Теорема утверждает о том, что в арифметике Пеано существует формула, которую нельзя ни доказать ни опровергнуть средствами самой арифметики. 

Вот собственно и все, особого практического значения здесь нет никакого. Однако философское осмысление теоремы разные люди начали переиначивать на свой лад. Некоторые кибернетики говорили, что она утверждает невозможность искусственного интеллекта как такового. Физиологи говорили, например, о тщетности опытов с собаками Павлова, от которых требовалось детерминированное поведение. Физики говорили о невозможности описания сложных физических объектов (черных дыр и проч.). Про что говорили журналисты, я вообще молчу. И меньше всего интерпретацией занимались, наверно, сами математики.

Все эти утверждения возможно и верны, но они не имеют никакого отношения к теореме Геделя. Потому что теорема Геделя утверждает только о свойствах арифметики Пеано. И даже факт того, что какие-то формулировки не могут быть доказаны самой системой - не является смертельным, так как 1) они могут быть неинтересны в практическом смысле, 2) могут быть доказаны в рамках другой формальной системы.

Антон Климовотвечает на ваши вопросы в своейПрямой линии
19
-2

я правильно понимаю, что это создает какое-то подобие парадокса? берутся два утверждения, которые сосуществуют одновременно, и при этом одно другое опровергает?

(дело в том, что я начала читать книгу Хофстедера "Гёдель. Эшер. Бах", и если с двумя последними все понятно, то разбор теории Гёделя вводит меня в ступор)

0
Ответить

Ну, в некотором смысле да, то есть если вы в рамках теории предположите, что вы сможете вывести (доказать) данное утверждение, то вы выведите и противоречие этого утверждения.

0
Ответить

Спасибо

0
Ответить

Из статьи в википедии о теореме Геделя:

""" Ещё в начале XX века Давид Гильберт провозгласил цель аксиоматизировать всю математику, и для завершения этой задачи оставалось доказать непротиворечивость и логическую полноту арифметики натуральных чисел. 7 сентября 1930 года в Кёнигсберге проходил научный конгресс по основаниям математики, и на этом конгрессе 24-летний Курт Гёдель впервые обнародовал две фундаментальные теоремы о неполноте,  показавшие, что программа Гильберта не может быть реализована: при любом  выборе аксиом арифметики существуют теоремы, которые невозможно ни  доказать, ни опровергнуть простыми (финитными) средствами, предусмотренными Гильбертом, а финитное доказательство непротиворечивости арифметики невозможно """"

Т.о. речь идет не просто о какой-то формальной системе, а о математике вообще.

А уж если в математике такая ерунда ...

+2
Ответить
Ещё 4 комментария

Насчет практической значимости - это Вы зря. Нематематику часто кажется странным то, что вопросы доказательства правильности самого процесса доказательства - это крайне важный момент в математике (можно обобщить это и для всего научного знания - отсюда и значимость данной теоремы).

Курт Гёдель был одним из основоположником так называемой теории вычислимости, а она, в свою очередь, оказала влияние на языки программирования. Если есть необходимость и будет время - раскрою подробнее ответ.

+2
Ответить

Алексей, спасибо, конечно необходимость есть,  буду очень благодарна.

0
Ответить

А чего тогда интеллектуал всех времен народов постоянно ссылается на ТеЕорему Геделя - то у него "теория всего" невозможна, то Бога нет на основании этой теоремы

0
Ответить

В замкнутых системах, нет начала и конца, Но вданном случае есть наблюдатель, есть начало, так что проблема надуманна ...

То же и с парадоксами, не разрешимы без Наблюдателя,

без рефлексирующего субьекта.

0
Ответить
Прокомментировать

Представьте, что вам достался в наследство огромный дом и спрятанный где-то в нем прекрасный алмаз, стоимостью во много раз больше, чем даже сам дом. И вот вы посвящаете всю свою жизнь поискам этого алмаза. Вы ищете его день за днем, ночь за ночью, исследуете все стены и потолки, открываете все ящики, заглядываете во все коробки, простукиваете батареи и отвинчиваете ножки у стульев в поиске потайных мест, сдираете обои, плинтуса и кафельную плитку. Вы чувствуете себя готовым, если будет нужно, разобрать дом просто на маленькие кусочки, но только найти этот самый алмаз. Вами движет уверенность, что где-то он обязательно должен быть. А потом вам говорят: "извините, на самом деле, мы ошиблись, - возможно, что этого алмаза в доме и нет". Для вас это, конечно, шок. И хотя вы продолжаете свои поиски, но уже далеко не с тем энтузиазмом как раньше, потому что где-то глубоко внутри подозреваете, что все ваши усилия могут быть напрасны.

Вот примерно такой эффект на математиков и оказала Теорема Геделя о неполноте.

Dmitriy Gusarovотвечает на ваши вопросы в своейПрямой линии
5
-5

Спасибо, но в чем суть-то самой теоремы? То, что она шуму наделала, я поняла :)

0
Ответить

Дело даже не в шуме, а в том, что теперь при любой попытке доказательства какого-либо утверждения или гипотезы необходимо учитывать, что этого доказательства может и не существовать в принципе, - то есть нельзя будет ни доказать его, ни опровергнуть. Согласитесь, это выглядит немного разочаровывающе, особенно для человека, который решает потратить на эту работу 25 лет своей жизни.

А суть теоремы состоит в том, что в любой системе аксиом (например, в математике) могут существовать утверждения, в отношении которых можно корректно доказать как их истинность, так и ложность.

0
Ответить

НУ ВЕДЬ И ТАК ЯСНО ЧТО НЕ ПОЛНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕ ЯВЛЯЕТСЯ  ВЫСКАЗЫВАНИЕМ ТАК КАК ПОНЯТИЕ НЕ СООТНОСИТСЯ С ДРУГИМИ ПОНЯТИЯМИ!! ПОЭТОМУ В ЛЮБОЙ СИСТЕМЕ НЕЛЬЗЯ ВЕСТИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО   НА ОСНОВЕ  ТОГО ЧТО САМО НЕ ИМЕЕТ  ИСТИННЫХ ОСНОВАНИЙ!  ПОЭТОМУ КОНЕЧНО ГЁДЕЛЬ ПРАВ КОГДА ГОВОРИТ  ЧТО   НЕЛЬЗЯ ПОЛУЧИТЬ ИСТИННОГО СУЖДЕНИЯ НЕ ИМЕЯ ПОЛНОГО И ДОСТАТОЧНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ! ТАК ЧТО   МЫ ИМЕЕМ  ЗДЕСЬ УНИВЕРСАЛЬНЫЙ ПРИНЦИП МЫШЛЕНИЯ!!

0
Ответить
Ещё 1 комментарий

Верно !   И  ...  методологически очевидно. Но Ваше утверждение точно ведёт к универсализму, и спокойному расширительному толкованию. А именно, Теория систем сразу же предстаёт в конструктивном виде : "Нельзя описать ВСЕ элементы ДАННОЙ Системы, исходя из её алфавита — требуется уйти на уровень более высокий". На уровень мета-системы, которую сразу же (исходя из Теоремы Гёделя) можно считать "Элементом новой Системы", и так ... до Бесконечности. А это уже, в Корпусе позитивитских наук естество-знания показывает рекурсивный тупик. Происходит зацикливание знаниевых моделей, что великолепно изложено в "Мысли, перед рассветом".

0
Ответить

Спасибо за подробный комментарий, не пойму один момент — почему когда мы находим недоказуемую формулу, мы рассматриваем вариант, что это просто мы средствами системы не можем ее доказать, а не то что она 100% ложна?

0
Ответить
Ещё 3 комментария

"Почему, например, нельзя построить конкретный пример множества, по мощности промежуточного между алеф-ноль и алеф-один?" - вы помните, да, что я просила простым языком и я не математик?))

+1
Ответить

Николай, а вы зачем так орете? вам кто-то на ногу наступил?)

+1
Ответить

На мой взгляд, мысль Гёделя прекрасная частная формулировка более общей мысли Канта, сделанной им за сто с лишним лет ранее об антиномии разума.

0
Ответить
Прокомментировать
Ответить
Читайте также на Яндекс.Кью
Читайте также на Яндекс.Кью