Важно ли менять фамилию после свадьбы? А если не поменяешь, то с какими сложностями можно столкнуться?

Совершенно не важно. Главное - что у вас есть штамп и подтверждённый факт замужества. Пусть даже при этом вы сохраните свою прежнюю фамилию.