Daria Demekhina
ноябрь 2015.
2478

Что такое числа?

Ответить
Ответить
Комментировать
0
Подписаться
12
4 ответа
Поделиться

Числа изначально возникают как абстракция количества предметов или произошедших событий. Даже животные, в процессе выработки рефлекса, или поиска пищи могут принести запрошенное экспериментатором число предметов (подать голос требуемое число раз); если это число достаточно мало.

Далее, люди ещё в древности заметили общие закономерности ситуаций, когда складываются(вычитаются) множества отдельных предметов: что когда к двум предметам добавляют ещё два - получившееся количество предметов всегда равно четырём. Древние осознали, что счёт позволяет им предсказывать некоторые ситуации или выяснять прошлое. Скажем, понять, хватит ли принесённой добычи, чтобы уплатить дань вождю. Или все ли данники рассчитались =). Позже земледелие сформировало представление о дробях, торговля и обмен - об отрицательных числах (долг и имущество).

Развитие геометрии ввело иррациональные числа и сделало понятие числа объектом чистой науки

Владимир Шоминотвечает на ваши вопросы в своейПрямой линии

В математике как такового понятия «число», строго говоря, нет: есть отдельно определяемые понятия натурального числа, целого числа, рационального числа, действительного числа и комплексного числа, где каждое следующее является обобщением другого; отдельно стоят p-адические числа. Дальнейшие обобщения не принято называть числами, скорее, говорят о множествах с операциями – группах, кольцах, модулях, полях, алгебрах, линейных пространствах – так или иначе обобщающих множества «чисел».

Натуральные числа можно построить как неопределяемые объекты, поведение которых описывают аксиомы, например, система Пеано. Можно попробовать «наивно» определить натуральное число как класс эквивалентности конечных множеств относительно отношения равномощности: два множества называются равномощными, если каждому элементу одного можно однозначно сопоставить элемент другого, тогда «числом» будем называть класс равномощных друг другу множеств. (Если не ограничиваться конечными множествами, мы получим, кроме натуральных, более широкий класс объектов, называемых «кардинальными числами множеств»). Но с такими определениями надо быть аккуратнее, можно легко нарваться на парадоксы. С другой стороны, вполне возможно, что понятие числа возникло в жизни человека именно так: между двумя палками, двумя яблоками и двумя звёздами есть нечто общее, причём не то общее, что есть между яблоком и звездой. С этого начинается математика как метод максимально абстрактного мышления.

Следующие множества чисел строятся с помощью классов эквивалентности вполне строго: целое число можно определить как класс эквивалентости пар натуральных чисел с общей разностью, рациональное число – класс эквивалентности пар целых чисел с общим частным, действительное число – класс эквивалентности последовательностей рациональных чисел, сходящихся к одному пределу. Комплексное число определяется как пара действительных чисел с определёнными правилами сложения и умножения.

В каждой из областей математики существуют аксиомы -- набор утверждений об объектах и их свойствах. Далее идет понятие модели -- конкретная придуманная "штука" из объектов и их свойств, удовлетворяющих аксиомам.

Моделей натуральных чисел много. Например, последовательность множеств (специально построенная), последовательности вида aN....а2а1, где ашки -- это цифры (то есть символы 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), при этом первая ашка не 0.

Моделей действительных чисел также немало. Это прямая (геометрическая), последовательности aN....а2а1,b1b2..bK...... .(они конечны или бесконечны), додекиндовы сечения, и многие др.

В конкретной задаче выбирается наиболее удобная модель. Если Вам интересно определение действительных чисел, посмотрите здесь wikipedia.org в графе аксиоматический подход.

Показать ещё 1 ответ
Ответить