В математике как такового понятия «число», строго говоря, нет: есть отдельно определяемые понятия натурального числа, целого числа, рационального числа, действительного числа и комплексного числа, где каждое следующее является обобщением другого; отдельно стоят p-адические числа. Дальнейшие обобщения не принято называть числами, скорее, говорят о множествах с операциями – группах, кольцах, модулях, полях, алгебрах, линейных пространствах – так или иначе обобщающих множества «чисел».
Натуральные числа можно построить как неопределяемые объекты, поведение которых описывают аксиомы, например, система Пеано. Можно попробовать «наивно» определить натуральное число как класс эквивалентности конечных множеств относительно отношения равномощности: два множества называются равномощными, если каждому элементу одного можно однозначно сопоставить элемент другого, тогда «числом» будем называть класс равномощных друг другу множеств. (Если не ограничиваться конечными множествами, мы получим, кроме натуральных, более широкий класс объектов, называемых «кардинальными числами множеств»). Но с такими определениями надо быть аккуратнее, можно легко нарваться на парадоксы. С другой стороны, вполне возможно, что понятие числа возникло в жизни человека именно так: между двумя палками, двумя яблоками и двумя звёздами есть нечто общее, причём не то общее, что есть между яблоком и звездой. С этого начинается математика как метод максимально абстрактного мышления.
Следующие множества чисел строятся с помощью классов эквивалентности вполне строго: целое число можно определить как класс эквивалентости пар натуральных чисел с общей разностью, рациональное число – класс эквивалентности пар целых чисел с общим частным, действительное число – класс эквивалентности последовательностей рациональных чисел, сходящихся к одному пределу. Комплексное число определяется как пара действительных чисел с определёнными правилами сложения и умножения.