Daria Demekhina
июнь 2015.
2546

Что такое числа?

Ответить
Ответить
Комментировать
0
Подписаться
12
4 ответа
Поделиться

Числа изначально возникают как абстракция количества предметов или произошедших событий. Даже животные, в процессе выработки рефлекса, или поиска пищи могут принести запрошенное экспериментатором число предметов (подать голос требуемое число раз); если это число достаточно мало.

Далее, люди ещё в древности заметили общие закономерности ситуаций, когда складываются(вычитаются) множества отдельных предметов: что когда к двум предметам добавляют ещё два - получившееся количество предметов всегда равно четырём. Древние осознали, что счёт позволяет им предсказывать некоторые ситуации или выяснять прошлое. Скажем, понять, хватит ли принесённой добычи, чтобы уплатить дань вождю. Или все ли данники рассчитались =). Позже земледелие сформировало представление о дробях, торговля и обмен - об отрицательных числах (долг и имущество).

Развитие геометрии ввело иррациональные числа и сделало понятие числа объектом чистой науки

Владимир Шоминотвечает на ваши вопросы в своейПрямой линии
14
Прокомментировать

В математике как такового понятия «число», строго говоря, нет: есть отдельно определяемые понятия натурального числа, целого числа, рационального числа, действительного числа и комплексного числа, где каждое следующее является обобщением другого; отдельно стоят p-адические числа. Дальнейшие обобщения не принято называть числами, скорее, говорят о множествах с операциями – группах, кольцах, модулях, полях, алгебрах, линейных пространствах – так или иначе обобщающих множества «чисел».

Натуральные числа можно построить как неопределяемые объекты, поведение которых описывают аксиомы, например, система Пеано. Можно попробовать «наивно» определить натуральное число как класс эквивалентности конечных множеств относительно отношения равномощности: два множества называются равномощными, если каждому элементу одного можно однозначно сопоставить элемент другого, тогда «числом» будем называть класс равномощных друг другу множеств. (Если не ограничиваться конечными множествами, мы получим, кроме натуральных, более широкий класс объектов, называемых «кардинальными числами множеств»). Но с такими определениями надо быть аккуратнее, можно легко нарваться на парадоксы. С другой стороны, вполне возможно, что понятие числа возникло в жизни человека именно так: между двумя палками, двумя яблоками и двумя звёздами есть нечто общее, причём не то общее, что есть между яблоком и звездой. С этого начинается математика как метод максимально абстрактного мышления.

Следующие множества чисел строятся с помощью классов эквивалентности вполне строго: целое число можно определить как класс эквивалентости пар натуральных чисел с общей разностью, рациональное число – класс эквивалентности пар целых чисел с общим частным, действительное число – класс эквивалентности последовательностей рациональных чисел, сходящихся к одному пределу. Комплексное число определяется как пара действительных чисел с определёнными правилами сложения и умножения.

9
Прокомментировать

В каждой из областей математики существуют аксиомы -- набор утверждений об объектах и их свойствах. Далее идет понятие модели -- конкретная придуманная "штука" из объектов и их свойств, удовлетворяющих аксиомам.

Моделей натуральных чисел много. Например, последовательность множеств (специально построенная), последовательности вида aN....а2а1, где ашки -- это цифры (то есть символы 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), при этом первая ашка не 0.

Моделей действительных чисел также немало. Это прямая (геометрическая), последовательности aN....а2а1,b1b2..bK...... .(они конечны или бесконечны), додекиндовы сечения, и многие др.

В конкретной задаче выбирается наиболее удобная модель. Если Вам интересно определение действительных чисел, посмотрите здесь wikipedia.org в графе аксиоматический подход.

4
Прокомментировать

Я отвечу на ваш вопрос цитатой, а точнее - не отвечу.

«Что всё же такое цельность? Вопрос способен вызвать теперь уже раздражение философа, занятого важными проблемами. Это цельность, само собой ясно! Нет, всё–таки? Это единство! Но что такое единство? Единство есть свойство единого, одного. Что такое единое? В самом деле, что такое одно? Число. Что такое число? Неизвестно. Определения числа не существует. Число определяют через количество, количество через счет, счет через единицу, единица — число. Можно как угодно формализовать эту процедуру, например, можно определять число как «понятие, служащее для количественной характеристики предметов», с отсылкой к термину «количество», причем количество определяется как «отображение общего и единого», единое, в свою очередь, — как «начало множества», «множество» как «класс», «класс» как «совокупность элементов», т. е. опять единство единиц, число. Можно еще абстрактнее: число есть «класс всех равночисленных классов», а «равночисленные классы» суть классы, между всеми элементами которых соблюдается одно–однозначное соответствие, т. е. элементу одного класса можно без двусмысленности сопоставить элемент другого класса. Но ведь «элемент класса» невозможно определить иначе, как единицу, единица есть число. Из тавтологии при определении числа мы при любой формализации не выбираемся, достигая только того, что запутываем себя, чтобы уйти от встречи лицом к лицу с этим неведомым — числом, единицей. Единство есть единое, единое есть число, число есть счет единиц[…]»

Отрывок из книги: Владимир Вениаминович Бибихин. «Мир.» Водолей, 1995. iBooks.

Этот материал может быть защищен авторским правом.

1
Прокомментировать
Ответить