Почему умножение и деление приоритетнее сложения и вычитания?

Ответить
Ответить
Комментировать
0
Подписаться
0
1 ответ
Поделиться

Складывать, вычитать, умножать можно, как известно, не только числа, но и многие другие объекты – векторы, матрицы, тензоры, функции и так далее. Если какой-то объект получается из других сложением и умножением, то часто его удобно представить в виде суммы произведений: например, (a+b)x+d = ax+bx+d. Второе выражение, хоть и содержит больше букв, имеет стандартный вид, такие выражения проще складывать, умножать и вообще понимать. Многие при изучении математики встречались с такими выражениями: стандартный вид многочлена, линейные уравнения, разложение вектора по базису, степенные ряды, включая ряды Тейлора, ограничения и целевые функции в задачах линейного программирования, формула полной вероятности и тому подобное. (Важнейший случай такой суммы, в которой все произведения из двух множителей, и первые множители – числа, называется линейной комбинацией). Получается, сумма произведений настолько универсальна, что выражение без скобок «по умолчанию» читается как сумма произведений: ax+bx+d = (ax)+(bx)+d.

С другой стороны, сложение и умножение (почти любые) ассоциативны, то есть выполняются законы a+(b+c)=(a+b)+c и a(bc)=(ab)c. Это позволяет выполнять операции, учитывая приоритет, в любом порядке: наш пример, если удобно, мы можем посчитать как ax+(bx+d), а если бы приоритета не было, выражение «читалось» бы слева направо как (((ax)+b)x)+d, а справа налево как a(x+(b(x+d))), и это два разных выражения. А читать справа налево, как и переставлять члены, приходится часто.

Вычитание же – операция, обратная сложению, а деление – обратная умножению, поэтому приоритеты у них те же. Впрочем, в серьёзной математической литературе (кроме школьной) вы вряд ли встретите знак деления, вместо него скорее дробь или возведение в минус первую степень.

Ответить