Я об этом знаю не очень много, но что-то сказать попробую.
В исламе, действительно, как уже сказали, бывает изгнание джиннов. Это не христианские бесы, у них есть свой мир, они сотворены из бездымного пламени, невидимы нашему глазу, у них есть свободная воля, иногда они исповедуют ислам. Иблис обычно считается тоже джинном. Джинны могут толпами вселяться в грешных людей, немусульман или плохих мусульман, а лечат их чтением Корана специально обученные люди. Насколько я знаю, это довольно популярно сейчас, например, в Дагестане, в других республиках Кавказа, хотя специалисты и возводят свое преемство к каким-нибудь мощным медресе и шейхам в арабском мире.
В иудаизме представления о том, что в человека может вселиться злой дух, были известны еще со времен Второго храма, имели место в талмудической литературе, мидрашах и т.д. В 16-17 вв. в каббалистической литературе под влиянием учения о переселении душ складывается концепция диббука - злого духа, который из-за своих грехов не может родиться заново и паразитирует на телах живых. Что именно на "телах", а не на душах, потому что у человека несколько душ, - это для такого рода антропологии, видимо, важно. Об этом есть у Ицхака Лурии, Хаима Виталя и других каббалистов, а позднее это учение ушло в хасидизм, где диббуков изгонял праведник во главе собрания верующих - цадик с миньяном. Мораль была в целом в том, что цадик может исправлять души от грехов. Последнее "официальное" изгнание, как считается, случилось в начале 20 в.
В буддизме изгнание всякого рода духов тоже есть, но специфика его зависит от разновидности в буддизма. Представление о том, что в человека может вселиться какой-нибудь дух, видимо, было еще в 3 в. до н.э., вопрос только в том, изгоняли их или нет, потому что "духи тоже люди", т.е. живые существа, и убивать их нельзя. В Японии в Средние века были очень популярны всякого рода "народные" истории о привидениях и демонах, которых изгоняют буддийские монахи с помощью заступничества будды Амитабхи. В 9 в., например, существовал обряд, в ходе которого ученые монахи сначала долго читали мантры, а потом откупались от духа бобами. Еще были всякого рода обереги, амулеты и т.д. Интереснее всего в тибетском буддизме, где демоны (под влиянием в том числе местной религии бон) стали очень популярны и существуют почти что наравне с людьми. Их кормят, умиротворяют, выкупают у них людей приношениями. Бывают, правда, и такие ритуалы, когда его изгоняют откуда-либо насильно.
Ну и разумеется во всякого рода малокодифицированных верованиях вроде различных изводов индуизма, даосизма и т.д. все такие вещи очень популярны, как и во всякого рода условно "примитивных", т.е. традиционных, религиях. Совершенно верно также было сказано про культы одержимости, однако там речь все же идет не об "изгнании" чаще всего, а о позитивных состояниях. Это ближе скорее к античным мистериальным культам, где, конечно, было понятие "энтузиазма", т.е. одержимости божеством, но оно трактовалось как позитивное. Вакханки разорвали Орфея на части голыми руками, потому что он был врагом Диониса, никто из них никого изгонять не собирался, все в порядке.
В шаманских практика Южной Сибири есть. Все воспринимается не так глобально, правда. Поскольку в христианстве присутствует разделение всего и вся на черно-белое только.