Конечно же притягивается, иначе бы атомов не было. Более того, есть много разных объектов, которые к чему-то притягиваются и на него не падают, например, Луна к Земле. Фишка в том, что Луна постоянно "падает" на Землю, но так как она при этом движется вбок, она за это время отлетает чуть в сторону. В итоге ее "падение", то есть отклонение от прямого пути, скомпенсировано ее смещением в сторону, и получается, что она описывает почти круг снова раз за разом. Но такая ситуация не работает в атоме, потому что ускоренные заряды излучают, и электрон должен терять энергию за счет электромагнитного излучения и снижаться (в общем-то и Луна тоже, но гравитационное излучение очень слабое, и эффекты потери энергии на него в системе Земля-Луна неощутимы).
Тут в игру вступает квантовая механика, дело в том, что электрон не вращается по орбите, а сосредоточен вокруг протона. В квантовой механике действует принцип неопределенности: dx*dp>h, где dx означает неопределенность координаты, dp - импульса, а h - фундаментальная постоянная, называемая постоянной Планка. Электрон не имеет четкой координаты или импульса, а имеет какое-то распределение вероятностей, чем уже его вероятная область по координате, тем шире по импульсу. Если бы электрон приблизился близко к протону, мы бы хорошо знали его координату, dx была бы маленькой, а dp~h/dx большой. В результате, электрон мог бы получить достаточно большой импульс, чтобы улететь назад далеко от протона или вообще из атома. Поэтому чтобы связать вместе близко две частицы, нужно чтобы взаимодействие было очень сильным. Таким, например, как ядерное, которое по масштабам энергий гораздо больше электромагнитного.
P.S. Из принципа неопределенностей можно оценить размер атома. Например, электростатическая энергия имеет вид U=k*Q1*Q2/r, где k - постоянная Кулона, Q1, Q2 - заряды, r - расстояние. Кинетическая энергия равна E=m*v^2/2=p^2/(2m), из соотношения неопределенности можно положить p~h/r. Кинетическая энергия, необходимая для вылета, сравняется с потенциальной, когда U=k*e^2/r~p^2/(2m)~h^2/(2*m*r^2), откуда r~h^2/(2*k*e^2*m), что примерно равно размеру атома - боровскому радиусу. Видно, что если уменьшить r, то кинетическая энергия E растет быстрее потенциальной, и такая система просто не сможет быть устойчивой.