Передо мной сидит глубоко несчастный человек и, плача, рассказывает своё горе. Мне тяжело слушать его, но рассказать это он больше никому не может . Как быть?..

Просто не примерять его ситуацию на себя. Сопереживание - это хорошо, и иногда полезно, но если через силу - не надо.
Поймите, если человек не болеет тяжёлой болезнью, а говорить про бытовое горе - он не несчастен.  Отнеситесь к этому рассказу, как к интересному опыту уже вашей жизни - как слушатель