Это все же не теория, а концепция, идея или, как раз, идеологический элемент. Но вернемся к основам.
Во-первых, что считать Средневековой Русью? Это крайне важно, т.к. впервые в источниках некий "Третий Рим" появляется в России лишь в первой половине XVI в. в посланиях игумена Филофея. Т.е. этой концепции не существовало во времена, скажем, Киевской Руси, Удельной раздробленности и Ига, а появилась только в момент притязания Московского княжества на нечто большее - царство. Таким образом, концепция если и была частью идеологии, то только Московского княжества, в будущем царства.
Во-вторых, сама идея "Третьего Рима" в мировой истории не оригинальна. Идея о трех градах божьих тесно связана с христианским учением, тут вам и священное число три, и эсхатологические ожидания, ведь именно в "главный город" въедет Христос во время своего второго пришествия. Московское княжество не было первым, которое заявляло о своих притязаниях. Другие христианские страны, и католические и православные, тем или иных образом заявляли о своей исключительности. В википедии пишут о сербском царе Стефане Душане и болгарском царе Иоанне-Александре, которые также считали себя наследниками Константинопля (Второго Рима). Да и сам Константинополь не мыслил себя каким-то "вторым", он тоже был "третьим", но не Римом, а Иерусалимом. Также не должно смущать отсутствие каких-то идеологических составляющих в Западной империи, они постулировались самим наличием Императора и, собственно, Рима, который тоже не был "вторым", а наоборот, был во всем первым.
В-третьих, "а был ли мальчик?" То что раньше, в период правления Василия III, потом Ивана Грозного и, наконец, Алексея Михайловича, могла существовать некая идеология религиозной исключительности Москвы по отношению ко всему миру кажется нам совершенно очевидным. Казалось так и в XIX в., когда сосбтвенно впервые были обнаружины и опубликованы послания игумена Филофея, а заявил о значимости данной концепции для русского государства историк В.С. Иконников. Но если это было такой важной идеей для московских праивтелей, почему она до нас практически не дошла ни в каком виде, кроме пары посланий Филофея и некоторых других единичных упоминаний в XVI в.? Даже Иван Грозный, от которого до нас дошло множество личных источников и записей его диспутов на религиозные темы с католиками и протестантами, ни разу не упоминает о "Москве Третьем Риме". Да и те упоминания что есть, не всегда связывают Третий Рим и Москву, они говорят о "Третьем Риме - Российском царстве", что логично, так как за названием города в то время стояла страна (империя, а вообще - весь мир) а не только сам город.
Вероятно, эта идея не была сильно распространнена. Мы встречаем ее исключительно в среде духовенства, причем достаточно узкого круга псковичей и новгродцев. А историк Дональд Островский вообще говорит о том, что никакой "Третий Рим - Российское царство" не существовало, что в данном случае мы имеем дело с ошибкой переписчика, а имелось ввиду "Третий Рим - Ромейское царство"...
Вместо какого-то итога приведу несколько работ на русском языке: Сторонники существования идеологии: Д. Стремоухов и Е.В. Тимошина; Противники: Н.И. Ульянов и А.С. Усачев.