Бананы не растут на пальмах. Это многолетнее травянистое растение с ягодами -- бананами. "Ствол" образован частями листьев.
Кокосовый орех -- действительно орех, который растет на пальмах.
Фрукт в русском языке по факту не ботаническое, а бытовое обозначение, которое включает в себя и ягоды. Но формально фрукт это латинское плод, банан -- плод, так что, да, можно называть фруктом.