Может ли человек отказаться от всех гражданств в мире, и сможет ли он после этого получить гражданство любой страны, которой захочет?

Да, и для этого даже есть термин - апатрид. Можно отказаться от гражданства добровольно (однако практикуют это далеко не везде), а можно потерять его по ряду причин.

Думаю, апатриды получают гражданство по всем правилам натурализации, как и все. Не нужно думать, будто жизнь без гражданства даст Вам кучу ништяков.

Человек становится апатридом, если у его родителей нет какого-либо гражданства или подданства, а законы государства не подразумевают автоматического приобретения гражданства при рождении на его территории; если его лишает гражданства само государство по политическим, этическим мотивам или из соображения безопасности; если он добровольно отказывается от гражданства; если государство прекращает свое существование. 

По своей воле апатридами, конечно, становятся крайне редко. Обычно люди без удостоверения личности просто не могут доказать свою принадлежность к какому-либо государству. Очевидно, что плюсов в жизни без гражданских прав в современном мире практически нет. Вот, по моему мнению, исчерпывающий текст о том, что происходит с апатридами в России. Три очень сильных монолога от первого лица:

Я уже иногда говорю, что не хочу я вашего гражданства, просто дайте бумагу, что я человек и что если кто-то остановит, я бы мог показать. Дайте мне любую бумажку.

У меня нет интернета, я человек, выпавший из жизни. Чтобы модем приобрести, нужны паспортные данные, и это дорого, ноутбук хороший дорого. Если нужно отправить электронные письма — я прошу знакомых.

Первый вариант «пакета Яровой» предлагал дать властям возможность лишать россиян гражданства — за преступления террористической направленности, за службу в иностранной армии и некоторые другие поступки. В изначальной версии законопроекта (затем поправку отменили) говорилось, что лишать гражданства можно тех, у кого есть паспорт другой страны или гарантии его получения. «Медуза» поговорила с живущими в России людьми вообще без какого-либо гражданства о том, с какими сложностями они сталкиваются и почему не могут получить паспорт. 

Касательно возможности отказа от гражданства, во многих государствах имеется норма о том, что лицо, которое намеревается отказаться от гражданства, должно иметь гражданство иностранного государства. 

Данное положение подтверждается Конвенцией о сокращении безгражданства 1961 г., участниками которой являются более 50 государств:

"Если закон какого-либо Договаривающегося Государства разрешает отказ от гражданства, такой отказ не должен вызывать утраты гражданства кроме тех случаев, когда соответствующее лицо имеет или приобретает другое гражданство." (ст. 7)

Так что отказаться от всех гражданств вряд-ли получится в большинстве государствах. 

Если же лицо по каким-то причинам стало апатридом,то предоставление гражданства такому лицу Конвенцией поощряется.

Вообще, существует паспорт гражданина мира, с которым в идеале человек может перемещаться по всему миру. Однако такой документ признается далеко не всеми странами. Относительно того, как его владельцы получают гражданство любых стран, не могу сказать, но подозреваю, что в порядке, установленном этими странами.