Да.
Если просто,то все завоевания монгол становились частью их империи.(как республики в составе России,правда,тогда были немного другие взаимоотношения ).
Княжества платили посильную дань(не очень большую),посылали рекрутов в монгольскую армию(тоже не сказать, что много).
Монголы взамен помогали войсками княжествам,если на них кто-то нападал.Так же они вообще не вмешивались в политику князей(ну если только князья не хотели отделиться).
В современных учебниках уже не пишут про иго,т.к. историки доказали,что его не было.