Нет, с юридической точки зрения университет не может ни запретить студентам выкладывать что-то в интернете, ни отчислить за это.
Высшие учебные заведения, как уже было отмечено, действительно могут принимать локальные нормативные акты, регулирующие образовательные отношения внутри заведения. Например, в СПбГУ принят «Кодекс универсанта Санкт-Петербургского государственного университета», утверждены Правила внутреннего распорядка обучающихся СПбГУ. Факультеты могут принимать собственные этические кодексы, действует этическая комиссия, которая следит за соответствием действий работников и обучающихся нравственным и культурным традициям СПбГУ, общепринятым моральным, нравственным и этическим нормам.
Большинство этических кодексов закрепляет, что универсант должен «достойно представлять Университет во внеуниверситетской среде, включая СМИ и современные электронные средства массовой коммуникации, заботиться о его репутации как научного и образовательного учреждения, способствовать укреплению его авторитета» (из Кодекса универсанта СПбГУ).
С другой стороны, статья 29 Конституции РФ гарантирует свободу мысли и слова и свободу массовой информации. В соответствии с частью 3 статьи 55 Конституции РФ данное право может быть ограничено только федеральным законом. Федеральный закон от 29.12.2012 N 273-ФЗ "Об образовании в Российской Федерации", устанавливающий правовые основы образования в РФ, не ограничивает право студентов на выражение собственного мнения. Наоборот, закон закрепляет право на свободу информации и свободное выражение собственных взглядов и убеждений как одно из основных прав обучающихся и преподавателей. К тому же, согласно федеральному закону «Об образовании в РФ» акты, принятые образовательной организацией, не должны противоречить законодательству РФ. Акты, ухудшающие положение обучающихся или сотрудников организации по сравнению с законодательством, не применяются и подлежат отмене.
Среди оснований, по которым образовательные отношения могут быть прекращены досрочно по инициативе университета, есть только указание на невыполнение обучающимся обязанностей по добросовестному освоению профессиональной образовательной программы и выполнению учебного плана. Поэтому публикации об университете в социальных сетях не могут стать причиной отчисления.
Запрещать конечно не имеет право, но вот проводить дисциплинарную работу вполне может. А такие "работы" обычно отрицательно сказываются на характеристике и дипломе. Исключение составляют юридические ВУЗы, институты МВД и т.д. Они могут с такой формулировкой исключить.