Как стать археологом? Нужна ли эта профессия сейчас?

Очень просто - читать книги по археологии, поступить на исторический факультет и ездить на раскопки с экспедициями факультета и не только, курсовые и диплом писать по археологическим проблемам.

Археологи всегда нужны, вот только они не бывают богатыми. Как и все российские учёные-гуманитарии. Потому что путь у археолога, влюблённого в профессию, один - защита диссертации, преподавание в университете, научные исследования по своей теме и выезды на раскопки в летний сезон. Кропотливая работа, требующая знания бюрократических механизмов (иначе разрешения на раскопки не видать), внимания и терпения при работе в раскопе, а также неприхотливости в быту. Короче, ничего общего с Индианой Джонсом)

Добавлю. Вопрос в том, чего Вы хотите. Быть археологом или просто познакомиться с археологией и ездить в экспедиции?
1) Можно получить образование историка и ездить в экспедиции все 4 года учебы, а затем поступить в магистратуру по направлению "Археология..." (есть далеко не во всех ВУЗах);
2) Можно получить любое образование и поступить в магистратуру по направлению "Археология..." (если это действительно интересно и Вы прочли большое количество археологической литературы). 1 и 2 путь могут дать Вам большой багаж знаний и нужные "корочки", но скорее всего до самостоятельных раскопок еще далеко (никто не даст Вам "Открытый лист").
3) Вы можете ездить в экспедиции в составе различных групп и без археологического образования. На самом деле не так сложно найти экспедицию. Тут есть несколько вариантов: а) узнайте есть ли в Вашем городе ВУЗ и проводят ли представители этого ВУЗа раскопки. Если "да", то напроситесь к ним. Скорее всего Вас возьмут, т.к. люди нужны всегда; б) найдите в соцсетях сообщества, посвященные археологии. Там можно найти объявления о поиске людей в экспедицию (даже с зарплатой!!!). Но сильно не радуйтесь, т.к. придется очень много пахать. 
Археология может быть как интересной, так и очень скучной. Например, можно все лето копать курганы, которые были разграблены еще в древности и артефактов там почти нет. Или копать поселение, где попадается только одна керамика. А можно раскопать одну могилу, которая даст огромное количество интересных вещей. 
За раскопанными артефактами скрываются недели кропотливой и скучной работы, но это стоит того. 
Советую для начала съездить пару раз в экспедицию, а потом уже думать...стоит ли? надо ли? хочется ли?