Правда ли, что хороший программист должен отлично знать математику и физику или достаточно школьной базы?

Для работы программиста достаточно знаний школьной базы математики. Я бы сказал даже, что даже без неё можно работать. Без физики тем более. Но! Это в общем случае. Просто нужно понимать, что не все пишут шедевры, как Микеланджело, иногда требуется просто покрасить стены, т.е. быть обычным труженником. И с этим можно справляться.

Где требуется математика и физика? Там где такая предметная область. Например то и другое нужно в разработке игр. Чтобы описать анимацию движения, описать алгоритм поиска пути, графические шейдеры и так далее.
Для более сложных вещей (в отрыве от предметной области) требуется немного математической подготовки. Например алгоритмы, структуры данных. Понимание того, насколько один алгоритм эффективнее другого. Логика создавалась для нужд математики и требуется также в программировании. Логическое мышление - важный навык.
Но хороший программист выходит из стандартных рамок, т.е. ему мало того, что он сейчас знает. Давайте представим, что завтра будет задача, с которой мы никогда не работали. Потребуется время для исследования ,изучения темы. Например программисту Фейсбука дадут задачу найти сколько рукопожатий от пользователя до Марка Цукерберга, искать их будет по друзьям друзей. В дело вступают графы, А графы это тоже математическая область (но не из школьной базы). Т,е. идем к тому, что требуются знания математики.
Есть еще такая штука как теория множеств, конечные автоматы, про них тоже можно рассказывать, что они требуются (но опять же не для всех).

Как обычно бывает, 90% задач типичные и решаются 10% знаний. Но есть 10% специфичных задач, которые решаются оставшимися 90% знаниями. Нельзя ко всему быть готовым, но но нужно не останавливаться на достигнутых знаниях и прокачиваться, изучать новое.

Хороший программист хорошо знает фундаментальные (базовые) вещи, которые с годами не устаревают. Понимание принципов важнее знания инструментов. А в математике много вещей, которые не устареют (теория множеств, логика, дискретная математика, лямбда-исчисления), поэтому математка важнее для программиста широго профиля, чем физика. Но глубина знаний варьируется из рабочих задач (но не нужно ограничивать себя ими, нужно выходить за рамки).