Допустим я продаю квартиру в которой я прописан. Что дальше? Мне нужно будет где-то прописаться перед продажей?

Нет, такой обязанности у продавца нет. Причем надо учесть важный момент: как правило паспорт у человека, который снимается с постоянной регистрации, забирают - иногда и на неделю, на время выдавая справку. И что может случится? Описываю обычную последовательность событий.

1. Если сделка у вас нотариальная, то нотариус, скорее всего, вас без без паспорта и слушать не будет. Сделка не нотариальная? Вас не будут слушать в МФЦ, куда вы с покупателем придёте подавать договор купли-продажи для регистрации перехода права в Росреестре.
2. Перед подписанием договора купли-продажи вы будете закладывать деньги - или наличные в ячейку, или безналичные на аккредитив либо эскроу. Депозитарию/банку нужно заключать с вами договор - без паспорта, по справке, это нереально.
3. После регистрации перехода права вам надо передавать квартиру по передаточному акту покупателю и получать заложенные деньги, ставшие вашими. И кто ж вам их выдаст без паспорта?

Поэтому чаще всего паспорт сдают на "выписку" после подачи договора купли-продажи на регистрацию. К передаче квартиры он к вам возвратится, уже со штампом о снятии с постоянной регистрации. В документах (предаточном акте, расписке и т.д.) в месте полных паспортных данных в строчке "зарегистрированый/ая по адресу..." какое-то время будет писаться слово "ранее" - "ранее зарегистрированный/ая по адресу...".

Можно, разумеется, сняться с регистрации и заранее, получив на руки паспорт до всех процедур. Но если у вас ещё нет покупателя, вдруг вы его будете очень долго искать. А если покупатель уже есть, то ему и вам придётся лишнюю неделю ждать.

Вам пока некуда "прописаться" и боязно жить без постоянной регистрации? Так вы, вообще-то, не перестаёте быть полноправным гражданином своей страны. Советую подробнее о тонкостях жизни без "прописки" или с временной почитать в статье на Яндекс-Недвижимости (самому "лень" писать - долго очень :)).

Нет. Вы не обязаны сразу где-то получить регистрацию. Тем более частая схема -- тот или иной вариант обмена (в.т.ч. многоходовка), т.е. вы выписываетесь, продаёте квартиру, покупаете новую и в ней прописываетесь.