Добежать до деканата быстрее других :)
На самом деле, такие вещи меняются от ВУЗа к ВУЗу, поэтому оптимальным вариантом будет заглянуть в vk-группу своего факультета и задать этот вопрос там.
Любые должности в студенческом самоуправлении вуза являются выборными, что скорее всего отображено в одном их десятков положений, регулирующих это дело. Говоришь, что хочешь быть старостой курса, собираетесь студ.советом или что у вас там, голосуете, протоколируете, доводите до сведения учёного совета или просто деканата, тут тоже уже от вуза зависит.