Старый вопрос, но всё же напишу свой ответ. Влияет и очень позитивно ! Разгадывая кроссворд вы или обращаетесь к своей памяти и её напрягаете или, что часто бывает, выбираете из множества вариантов правильных ответов подходящий (по количеству букв, наличию букв из пересекающихся слов и т.д.). В последнем случае вы ещё и напрягаете свои аналитические способности.
Нет не влияет. Это псевдоинтелектуальное занятие, оно не развивает ни логическое мышление, ни эрудицию, ни знание основ каких либо предметов. Только словарный запас, причем в очень ограниченном сегменте терминов.