Докажите, что sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(5)+sqrt(7)+sqrt(11)+sqrt(13)+sqrt (17) иррациональное число?

Ответить
Ответить
Комментировать
0
Подписаться
0
2 ответа
Поделиться

Правильное решение данной задачи (в самом общем виде) можно найти в "Кванте" номер 2 за 1972 год, вот ссылка: http://kvant.mccme.ru/1972/02/irracionalnost_summy_radikalov.htm

5
0
Прокомментировать

Что такое, собственно, иррациональное число? Число, невыразимое в виде дроби с целыми числителем и знаменателем. Возьмём теперь ваше выражение.

Для начала докажем, что  иррациональное число (I) + рациональное(m/n) = иррациональное. Пускай это не так и I+m/n=q/t, где m,n,q,t -- целые. Тогда I = q/t - m/n = qn-tm/tn. Тогда I - рациональное, что противоречит изначальным условиям.

Теперь докажем, что sqrt(2) -- иррационально. Пускай sqrt(2) = m/n. Тогда 2 = (m/n)^2 и, следственно, m^2=2n^2. Однако, в любом случае в левую часть 2 входит в чётной степени, а в левую -- в нечётной. Значит, получено противоречие.

Теперь, зная, что корень из двух -- иррационально, а сумма иррационального и любых других чисел будет иррациональной(без обратных и без вычислений в кольцах, конечно), скажем определённо, что ваша сумма также иррациональна.

Денис Крахмалёвотвечает на ваши вопросы в своейПрямой линии
8
-8

Не могу понять, но кажется, автор ответа кое-что знает о троллинге

+1
Ответить

Не позорь наш вуз, дружище :)

Сумма иррационального числа и любого другого не обязательно иррациональна. Например: sqrt(2) и 2-sqrt(2)

+4
Ответить

Сейчас бы обратные элементы складывать, о которых я указал в ответе. И вообще, можете реабилитировать вуз своим доказательством.

-1
Ответить
Ещё 3 комментария

Число 0.101001000100001... является иррациональным

Число 0.010110111011110... является иррациональным

Их сумма 0.11111... - вполне себе рациональное число 1/9

+2
Ответить

Артём, так ведь первое число это 1/9 минус второе! А Денис указал, что обратными не пользуемся!

0
Ответить

Приведенное решение неверно. Сумма двух иррациональных чисел sqrt{2} и q-sqrt{2}, где q - рационально, является рациональным. Просто сказать "обратными не пользуемся" недостаточно, надо доказать, что сумма всех корней, кроме первого, не равна q-sqrt{2}, а это равносильно решению исходной задачи

+1
Ответить
Прокомментировать
Ответить
Читайте также на Яндекс.Кью
Читайте также на Яндекс.Кью