Докажите, что sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(5)+sqrt(7)+sqrt(11)+sqrt(13)+sqrt (17) иррациональное число?

Правильное решение данной задачи (в самом общем виде) можно найти в "Кванте" номер 2 за 1972 год, вот ссылка: http://kvant.mccme.ru/1972/02/irracionalnost_summy_radikalov.htm

Что такое, собственно, иррациональное число? Число, невыразимое в виде дроби с целыми числителем и знаменателем. Возьмём теперь ваше выражение.

Для начала докажем, что  иррациональное число (I) + рациональное(m/n) = иррациональное. Пускай это не так и I+m/n=q/t, где m,n,q,t -- целые. Тогда I = q/t - m/n = qn-tm/tn. Тогда I - рациональное, что противоречит изначальным условиям.

Теперь докажем, что sqrt(2) -- иррационально. Пускай sqrt(2) = m/n. Тогда 2 = (m/n)^2 и, следственно, m^2=2n^2. Однако, в любом случае в левую часть 2 входит в чётной степени, а в левую -- в нечётной. Значит, получено противоречие.

Теперь, зная, что корень из двух -- иррационально, а сумма иррационального и любых других чисел будет иррациональной(без обратных и без вычислений в кольцах, конечно), скажем определённо, что ваша сумма также иррациональна.