Я подключен с роутеру соседа с его разрешения. Может ли он просматривать трафик, который я накачал или прослушивать его?

Если он этого действительно хочет - да, может.

Другой вопрос, что если трафик шифрованный, то он ничего с ним не сделает (расшифрует - маловероятно), а довольно большАя часть трафика сейчас криптографически защищена так или иначе.