Зависит от премии и страны. Так, например, "Оскар" за лучший фильм получает продюсер, а в России в аналогичной номинации премию получит режиссер
Чаще всего премия в театре хранится. «Золотую маску», которую я вместе с другими в этом году получила за «Петра и Февронию», унес домой режиссер. Если искать правило, то премию уносит к себе тот, кто больше всех ею дорожит.