Объясните, пожалуйста, человеку, имеющему базовый набор математических знаний, в чём состоит теория гомотопий и для чего она нужна?

Ответить
Ответить
Комментировать
1
Подписаться
1
1 ответ
Поделиться
АВТОР ВОПРОСА ОДОБРИЛ ЭТОТ ОТВЕТ

Сам я, конечно, теорию гомотопий не изучал и мне она кажется "изотерической теорией групп и колец", однако, на бытовом уровне попробую объяснить. Гомотопия, как мы знаем -- некоторое семейство напрерывных(это важно) отображений, прообразом и образом которых являются топологические пространства.

Если описывать это с точки зрения визуализации и геометрии -- "что мы можем сделать с объектом через растяжение, сжатие и вязкое смещение(такое, что вместе с точкой смещается некоторая её окрестность)". И тут прикладное значение вполне себе понятно: это и алгоритмическое описание каких-то процессов, и выстроение логики архитектуры с помощью математической модели. Например, как в компьютерной игре будут вести себя объекты при влиянии на них.

Если же с точки зрения математики -- нам будут скорее интересны классы этих гомотопий, то есть все возможные модели, собранные по эквивалентности. И тут операции переводятся уже в некие метрические пространства (топологические, если угодно, но к пониманию это не прибавит) и системы векторов(множеств, областей) в них.  С этой точки зрения выстроить математическую модель всякого пространственного процесса (при том имеющего логику непрерывных преобразований) становится несколько проще, как проще и обобщить её классами эквивалентности.

Пояснение очень "бытовое", но вы либо уже овладели достаточными знаниями для перехода к курсу гомотопий, либо ещё несколько дойдёте и вам будет этого достаточно.

Денис Крахмалёвотвечает на ваши вопросы в своейПрямой линии
3
0

"эзотерической теорией групп и колец"

0
Ответить

Денис, придерусь ещё два раза. 

  1. прОобраз

  2. Метрические пространство является топологическими, но не наоборот. Вообще говоря, теория гомотопий сегодня - это обычно теория спектров, а, скажем, для колец они строятся из всяких формально определённых симплициальных комплексов. Соответственно, можно даже не делать их геометрическую реализацию (то есть, очень грубо говоря, превращать формальный 2-симплекс в обычный треугольничек), поскольку для симплициальных комплексов понятия групп сфер (а именно эти инварианты нас и интересуют в конце-то концев) могут быть определены вполне формально (гомотопия <=> применение свойств Кана к "рогам". В общем, всё очень дискретно, и метрика не нужна.

+2
Ответить

Ну, как вы могли прочитать, этот раздел я не изучал и ни о каких нюансах не осведомлён. Так что спасибо за уточнение, надеюсь, автору вопроса это будет полезно.

З.Ы. Привык к "праобразам" из литературы, сглупил, спасибо.

+1
Ответить
Ещё 1 комментарий

В литератуе "праобраз"? Не знал, спасибо :)
И, вы уж меня простите. Я не хочу выпендриваться, ну просто проще объяснить за разумное время не получается, а что непонятно - издержки производства.

0
Ответить
Прокомментировать
Ответить
Читайте также на Яндекс.Кью
Читайте также на Яндекс.Кью