Что происходит в организме, когда «затекает» конечность и ощущается покалывание?

Это покалывание по-научному называется парестезией.

Проходящая парестезия обычно обусловлена или непосредственным механическим раздражением поверхностно залегающего нерва, например, при ударе или давлении (все же локтем об стол бились?) или при временном нарушении кровоснабжения конечности, приводящем к изменению проведения нервных импульсов, например, при длительном пребывании в неудобной позе, часто во время сна.

Хронические парестезии часто возникают как симптомы поражений различных отделов нервной системы. 

Нам еще невролог рассказывал о синдроме парковой лавочки) Это когда в состоянии опьянения алкоголь работает как мышечный релаксант и во время сна происходит компрессия нерва между костью и твердой поверхностью, на которой спишь, или например другой конечностью. Тогда парестезии могут длиться до нескольких дней.

Я пару раз пьяная засыпала головой на руке и просыпалась, полностью ее не ощущая, бывали сильные парестезии в ногах. Думала с перепугу, что это у меня рассеянный склероз начинается))

Снижается поступление кислорода в ткани. Сдавливаются нервные клетки и сосуды. И первыми реагируют на это нервные клетки, насколько я помню.