Склоняются ли топонимы славянского происхождения, заканчивающиеся на -ово, -ево, -ино, -ыно, типа Митино - Бибирево?

Да, склоняются.

Традиционная, первоначальная литературная норма — в Митине, Бибиреве.

Несклоняемость подобных топонимов начала распространяться после Великой Отечественной войны. Тогда в картографическом, военном деле важно было не перепутать названия населённых пунктов (Киров, Кирово, Пушкин, Пушкино), поэтому они употреблялись в именительном падеже.

Потом неизменяемость проникла в разговорную речь, и с 70-х годов словоформы в Митино, в Бибирево стали рассматривать как допустимую литературную норму.

Склоняемые варианты до сих пор считаются образцовыми, основными.

Цитата с Грамоты.ру:

«Азбучная истина № 1. Географические названия славянского происхождения, оканчивающиеся на -ово, -ево, -ино, -ыно, не склоняются в сочетании с родовым словом:

из района Люблино, в сторону района Строгино, к району Митино, в городе Иваново, из деревни Простоквашино, до края Косово.

Если же родового слова нет, то возможны оба варианта, склоняемый (старый) и несклоняемый (новый):

в Люблине и в Люблино, в сторону Строгина и в сторону Строгино, в Иванове и в Иваново, из Простоквашина и из Простоквашино, до Косова и до Косово, к Митину и к Митино, 8-й микрорайон Митина и 8-й микрорайон Митино.

При этом склоняемый вариант соответствует строгой литературной норме. Словарь Л. К. Граудиной, В. А. Ицковича, Л. П. Катлинской «Грамматическая правильность русской речи» указывает: „В образцовом литературном стиле (со сцены, с телеэкрана, в радиоречи) эти формы следует склонять“».