Если кратко — то путём сравнения разных языков. Именно на основании сравнительно-языкового анализа мы можем с одной стороны понять родственную связь между языками, так и восстановить некоторые особенности фонетики древних языков.
Как это работает?
Есть два главных метода того, как мы можем восстановить фонетику древнего языка, каждый из которых дополняет друг друга.
Метод первый — внутреннее восстановление. Мы можем найти нелогичности в словоизменении в рамках существующей языковой парадигмы изучаемого языка и на основании этого сделать вывод о предыдущих этапах развития. Простой пример из русского, почему есть слова, где в одних случаях есть так называемое беглое «о», а в других — нет. То есть, почему мы изменяем слова лоб — лба, сон — сна, рожь — ржи; но при этом есть нос — носа, боб — боба, дом — дома и т. д.? В таком случае мы можем сказать, что когда-то в парах, где происходит чередование звуков, скорее всего существовал какой-то особый гласный звук, который отличался от обычного. Как на самом деле звучало это беглое «о» в древности, на основании этого метода мы точно сказать не можем, но можем точно утверждать, что раньше в языке была ситуация, когда эти условные «о1» и «о2» различались так же, как мы сейчас различаем, скажем, «и» и «ы».
Метод второй — сравнительно-исторический. Возьмём те же слова, и посмотрим, как они выглядят в других современных славянских языках. Окажется, что везде, где в русском языке будет беглое «о», в других языках будет что-то другое. Вот, например, польский — łeb, sen, reż. Вот — сербский: лаб, сан, раж. Или вот — болгарский — лъб, сън, ръж. Но в тех словах, где в русском нет беглого «о», мы видим именно «о». После чего мы на основании данной информации берём уже древние тексты и находим, что «о» в древности так и обозначалась, а вот там, где было беглое «о» мы находим такое написание — лъбъ, сънъ, ръжь. На основании данной выборки становится понятно, что раньше на этом месте был звук, который, скорее всего, был похож на то, что мы сейчас можем слышать в современном болгарском.
Помимо всего прочего языки, в том числе и древние, редко существовали, не имея контактов с другими народами. А когда контакты между народами существуют, существуют и заимствования между этими языками. И это тоже даёт нам определённое подспорье в восстановлении фонетики древних языков. Мы смотрим на заимствования в других языках и понимаем, что разные языки развиваются по-разному и с разной скоростью, поэтому, анализ заимствованной лексики может дать нам понимание того, как могли раньше произноситься слова другого языка. Возьмём, например, финское слово talkkuna — толокно. Это слово может пролить свет в том числе и на то, как могло выглядеть современное русское слово «толокно» ещё в дописьменный период. Заметим, это слово в русском с тем же самым беглым «о» — прилагательное от него будет звучать как «толоконный». Вернёмся к финскому слову. Мы видим, что на месте нашего «-оло-» — «al», а на месте беглого «о» — «u». Исходя из общих тенденций, а также на основании данных кашубского языка — единственного, где не произошла т. н. метатеза плавных, — мы со значительной долей уверенности можем сказать, что в дописьменный период данное слово звучало как *tolkъno, делая скидку на то, что для финнов «о» звучало в этой позиции ближе к «а», а двойное «k» в финском языке — это такая же особенность финской фонетики, как, скажем двойное «p» в подобным образом заимствованном слове tappara — топор или двойное «t» в слове raamattu — Библия (от «грамота»). В этих же словах, кстати, мы и видим, что финны частенько заменяли русское «о» на «а», чем и объясняется «а» в слове talkkuna.
Теперь вернёмся к греческому. Фонетику древнегреческого языка восстановить относительно просто, потому как есть латинский язык, который в своё время так же сохранил фонетические особенности древнегреческого языка, в то время, как сам греческий их утратил. Простой пример с буквой В, которая в латыни читается как наше «б», а в современном греческом — как наше «в». Латынь сохранила название данной буквы как beta, которое и вошло с развитием науки во многие языки, в то время, как греки уже 1000 лет как называют свою букву β витой. Отсюда и разница в русском языке слов, пришедших к нам из греческого или через посредничество греческого, с их прочтением в языках, испытавших сильное влияние латыни: Вавилон — Babylon, Варавва — Barabbas, Варвара — Barbara, Вифлеем — Bethlehem, не говоря уже о слове алфавит — alphabet. Здесь же мы можем заметить и то, что современная греческая буква Н (ита) читалась раньше как «эта», что и нашло отражение в латинском языке.
Если же вас интересует такая тематика, то очень советую почитать данные статьи: 1 и 2, — во многом на основе которых я и написал свой ответ.