Причин для такого шага было несколько.
Первая и самая главная - технологическая. Россия конца XVII века (Петр избавился от регентства своей сестры в 1682 году) почти безнадежно отставала от развитых европейских государств почти во всех технологических областях, в первую очередь - в военно-технической. Это отставание (образовавшееся в основном по причине длительного пребывания под монгольским владычеством) необходимо было нагонять и нагонять быстро.
Для справки, чтобы был понятен исторический контекст. Петр пришел к власти, как я писал выше, в 1682 году. К этому времени Британия уже имеет самый мощный флот в мире и колонии в Америке, Африке (остров Джеймс) и Азии (Бомбейские владения Ост-Индской компании), Магеллан и Френсис Дрейк уже совершили свои кругосветные путешествия, голландцами открыта Австралия, в Европе полным ходом разворачивается Эпоха Возрождения, Реформация (знаменитая Варфоломеевская ночь и все повествования романов Дюма уже прошли), про книгопечатание и расцвет текстильной и обрабатывающей промышленности вообще молчу.
Вторая - экономическая. России нужны были внешне-экономические связи с сильными экономиками, обходится фактически натуральным хозяйством (с минимальной долей внешне-экономических взаимодействий) не представлялось более возможным. Для этого требовался выход к морю и активные дипломатические связи с развитыми европейскими государствами. Обеспечить такой выход войной с Турцией не представлялось возможным, поскольку тогда пришлось бы пробиваться через Стамбул, да и вообще войны с турками у Петра не задались, а вот союз против Швеции в итоге сыграл нам на руку.
Третья - культурная. Русь ведь с момента оформления своей государственности была европейской страной. Ярослав Мудрый был женат на шведской принцессе, его старшая дочь была женой французского короля (а после смерти Генриха к ней сватался сам Вильгельм нормандский), младшая - женой норвежского короля Харольда Хардрады, которого тот самый Вильгельм выгнал с английского трона. Могнольское владычество и последовавшие вскоре после него смуты выбили Россию из общеевропейских процессов и контекстов, и пора было в эти процессы возвращаться.
Заметка на полях ответа.
Вот в этом месте вообще получается занятно. Петр ведь со своим Великим Посольством посетил 2 очень особенных европейских государства - Голландию и Англию. Голландия на тот момент переживала расцвет республики, Англия успела попробовать авторитаризм и реставрировать монархию, но монархия эта уже была жестко ограничена Парламентом. И тем не менее, Петр, взяв сколь возможно, европейские развитые технологии, европейскую культуру, кажется почти совсем не удосужился взять уже развитые на тот момент на Западе государственные институты. В итоге получилось государство с чисто европейской внешностью, но совершенно азиатское по устройству. И этот конфликт, на мой взгляд, не разрешен до сих пор.