В каких ситуациях и фразах можно использовать слово "крайний"?
В значениях, связанных с краем, пределом.
Крайний дом — тот, который находится на краю улицы, города. Крайняя точка — та, что находится на краю какой-либо фигуры.
Крайняя нужда — предельная нищета. Крайне правые взгляды — радикально консервативные, националистические и т.д.
В устойчивых выражениях и терминах: «Крайний север», «крайняя плоть», «в крайнем случае».
А вот в близком значении «последний» это слово использовать не нужно. Это происходит от суеверия летчиков/моряков (нельзя сказать «последний рейс», потому что вдруг он действительно окажется последним) и в меньшей степени от восприятия слова «последний» в значении «наименее важный». Если вы пришли в поликлинику, нет ничего зазорного в том, чтобы спросить, кто последний в очереди.
Дополню предыдущий ответ,
"Крайний" в значении "последний" использует большинство экстремалов: парашютисты, роуп и бейсджамперы, альпинисты, даже цирковые артисты, насколько мне известно, в общем, практически все, чьи увлечения связаны с опасностью. Да, это такая примета, и есть среди любителей экстрима те, кто в неё не верят, но лучше при общении с такими людьми всё же употреблять "крайний". Ну или по крайней мере не переубеждать их в неправильности использования этого слова - по головке не погладят :)