Можно ли сравнивать две бесконечности? Напишите популярным языком, пожалуйста.

247
4
0
4 мая
16:12
май
2016

Можно, конечно. Пример с множеством всех чисел и множеством рациональных чисел не совсем корректен: их можно сопоставить друг другу (провести стрелки между элементами обеих множеств так, чтобы стрелки соединяли любой элемент любого из множеств с ровно одним элементом другого множества). Но есть множества, для которых нельзя сделать такое "сопоставление", например, множество положительных чисел и множество натуральных чисел. Грубо говоря, есть как минимум два "типа" бесконечных множеств — счётные и несчётные. Счётные - те, которым можно "сопоставить" множество натуральных чисел (то есть, по сути, пронумеровать все элементы так, чтобы у любого был номер, но все номера были различные), несчётные — те, с которыми это сделать нельзя (например, множество всех бесконечных последовательностей из нулей и единиц, множество действительных чисел, множество всех подмножеств счётного множества — несчётны, и их несчётного достаточно просто доказывается).

Напоследок скажу, что бесконечности в математике бывают только в контексте отсутствия предела в матане и в теории множеств (бесконечные множества бывают разными, функции могут стремиться к +/-–бесконечности, но с разной "скоростью", и их отношение может стремится к какому-нибудь числу или, опять же, не иметь предела).

0
0
май
2016

Мне в своё время очень хорошо, буквально на пальцах, ответила на этот вопрос преподавательница по матанализу. Ползёт муравей и видит перед собой два дома — пятиэтажный и девятиэтажный. Оба дома настолько велики для муравья, что он не может даже увидеть их полностью, не то что залезть на них. Муравей считает оба дома бесконечно большими, но в то же время нам очевидно, что они разные по размеру. Так и у людей — представьте, что истинной бесконечности не существует, но существуют неизмеримо большие величины, одна из которых может быть больше другой. Например, есть бесконечное множество всех чисел и бесконечное множество положительных чисел. Первое множество в два раза больше, потому что у каждого положительного числа есть отрицательный «двойник», но это ведь не делает множество положительных чисел конечным.

Ну и да, понятно, что на самом деле муравей может залезть на крышу дома, абстрагируйтесь чуть-чуть.

0
0
май
2016

В общем случае - можно. Наука не оперирует бесконечностью как самостоятельным понятием, бесконечность - это просто констатация факта, что для X нельзя указать конец. Если две сущности X и Y не имеют конца, то их можно разбить на части и сравнивать (если такое сравнение имеет смысл) по частям, "отодвигаясь" сколько угодно далеко в сторону "бесконечности".

Примитивный пример: функция y = x+1 всюду больше, чем y = x, хоть и стремится в бесконечность. Сколько угодно большое x мы бы не взяли, x+1 всегда будет больше.

0
0
показать ещё 2 ответа
Если вы знаете ответ на этот вопрос и можете аргументированно его обосновать, не стесняйтесь высказаться
Ответить самому
Выбрать эксперта