Есть ли какой-нибудь простой пример к теореме Римана о сумме условно сходящегося ряда?

171
1
0
29 апреля
16:41
апрель
2016

Да, есть один не очень сложный пример - знакопеременный гармонический ряд.

Как известно, 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... сходится условно к ln(2).
Будем теперь суммировать этот ряд в другом порядке: сначала n нечетных слагаемых, а затем m четных. 
Например,
1 + 1/3 - 1/2 - 1/4 + 1/5 + 1/7 - 1/6 - 1/8 + ... = ln(2)
1 + 1/3 - 1/2 - 1/4 - 1/6 + 1/5 + 1/7 - 1/8 -  ... = ln(2) + (1/2)ln(2/3)
1 - 1/3 - 1/5 - 1/7 - 1/9 + 1/2 - 1/11 - 1/13 - ... = ln(2) + (1/2)ln(1/4) = 0

В общем случае можно получить ответ ln(2) + (1/2)ln(n/m).
Заметим, что если n/m = e^(2x)/4, то сумма ряда будет равна x ∈ ℝ⁺,
а поскольку ряд бесконечный, в пределе мы можем получить любое n/m (в том числе и иррациональное).

3
0
Если вы знаете ответ на этот вопрос и можете аргументированно его обосновать, не стесняйтесь высказаться
Ответить самому
Выбрать эксперта