А что такое сознание? Ответьте сначала на этот вопрос. Дискретность и непрерывность -- это свойства, так сказать, каковость некоей сущности, своего рода тело, так сказать, руки-ноги-голова... Но не суть.
Выяснить суть очень сложно, не скатываясь, не соскальзывая на исследование признаков сути. Это все равно что щупать и пробовать на зуб скорлупу ореха, судя по ней о его содержимом.
Впрочем, я бы сказал, что сознание и дискретно, и непрерывно. Это две стороны одной медали, как бытие и сознание (на другом уровне витка абстракций).
Понятия дискретности и непрерывности проистекают из понятий времени, движения, пространства. Иной раз эти понятия реальны, иногда нереальны :).