Не понятно, что такое 'виза по гринкарте'. Гринкарта и есть ваш документ для прохождения границы, либо вы получаете визу жениха/невесты или другую, въезжаете по ней и подаете документы на гринкарту.
Если преступление совершено недавно, шанс отказа очень высокий. Если это было 3-5 лет назад и это административное нарушение, наймите хорошего иммиграционного адвоката, и все будет нормально